MATEMÁTICA RESOLVIDA PRA CONCURSOS E PRO ENEM.

Questão 4

(Enem 2020). Uma empresa de ônibus utiliza um sistema de vendas de passagens que fornece a imagem de todos os assentos do ônibus, diferenciando os assentos já vendidos, por uma cor mais escura, dos assentos ainda disponíveis. A empresa monitora, permanentemente, o número de assentos já vendidos e compara-o com o número total de assentos do ônibus para avaliar a necessidade de alocação de veículos extras. Na imagem tem-se a informação dos assentos já vendidos e dos ainda disponíveis em um determinado instante.

A razão entre o número de assentos já vendidos e o total de assentos desse ônibus, no instante considerado na imagem, é

a) 16/42
b) 16/26
c) 26/42
d) 42/26
e) 42/16

Ver Resposta
Resposta correta: a) 16/42
Razão é uma divisão na forma de uma fração e estamos em busca da seguinte razão:

$numerador n ú m e r o espaço d e espaço a s s e n t o s espaço v e n d i d o s sobre denominador n ú m e r o espaço t o t a l espaço d e espaço a s s e n t o s fim da fração$
De acordo com a imagem, temos:
16 vendidos em um total de 42 lugares. Por isso, a razão procurada é 16/42.

Questão 5

A caixa-d’água de um edifício terá a forma de um paralelepípedo retângulo reto com volume igual a 28 080 litros. Em uma maquete que representa o edifício, a caixa-d’água tem dimensões 2 cm × 3,51 cm × 4 cm.

Dado: 1 dm³ = 1 L.

A escala usada pelo arquiteto foi

a) 1 : 10
b) 1 : 100
c) 1 : 1 000
d) 1 : 10 000
e) 1 : 100 000

Ver Resposta
Resposta correta: b) 1 : 100
Ideia 1
O enunciado pergunta a escala das medidas lineares. Queremos determinar quantos centímetros de comprimento a caixa real possui para cada 1 centímetro da maquete. Ou seja:
$numerador 1 espaço sobre denominador D fim da fração$
Onde D representa uma medida de 1 dimensão.
Ideia 2
Primeiro, vamos determinar a escala dos volumes que são quantos cm³ a caixa real possui para cada 1 cm³ a maquete possui.
$1 sobre D ao cubo$
Onde D³ representa uma medida de 3 dimensões, ou seja, de volume.
Ideia 3
Por fim, convertemos de cm³ para dm³ e, assim, pala litros. Uma vez determinado a quantidade de líquido na maquete, fazemos a razão da escala comparando com a caixa real.
Passo 1: volume da maquete
Volume = comprimento x largura x altura
Como é um produto, a ordem não altera o resultado.
Volume = 2 x 3,51 x 4 = 28,08 cm³
Passo 2: passando de cm³ para dm³
1 dm³ = 10 cm x 10 cm x 10 cm = 1 000 cm³
Fazendo uma regra de três
Se 1 000 cm³ é igual a 1 dm³, então 28,08 cm³ será igual a x dm³ .
$numerador 1 espaço d m ³ sobre denominador 1 espaço 000 espaço c m ³ espaço fim da fração igual a espaço numerador x espaço d m ³ sobre denominador 28 vírgula 08 espaço c m ³ fim da fração$
1000 . x = 28,08 x 1
x = 28,08 / 1000
x = 0,02808 dm³
Passo 3: decímetros cúbicos para litros
Se 1 dm³ equivale a 1 litro, então 0,02808 dm³ será igual a 0,02808 L.
Dessa forma, 0,02808 L é a capacidade da maquete.
Passo 4: razão dos volumes
$numerador V o l u m e espaço r e a l sobre denominador v o l u m e espaço d a espaço m a q u e t e fim da fração espaço igual a espaço numerador 28080 sobre denominador 0 vírgula 02808 fim da fração espaço igual a espaço 1 espaço 000 espaço 000$
Passo 5: a escala de volume 1 / D³
$numerador 1 sobre denominador v o l u m e fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador 1 espaço 000 espaço 000 fim da fração$
Como o volume é espacial, possuindo três dimensões, fazemos volume igual a D³.
$1 sobre D ao cubo igual a numerador 1 sobre denominador 1 espaço 000 espaço 000 fim da fração$
Passo 6: a escala linear 1 / D
Multiplicando cruzado
$1 sobre D ao cubo igual a numerador 1 sobre denominador 1 espaço 000 espaço 000 fim da fração$
$D ao cubo igual a 1 espaço 000 espaço 000 D igual a cúbica raiz de 1 espaço 000 espaço 000 fim da raiz D espaço igual a espaço 100 espaço$
Logo, a escala procurada é 1/100

Questão 6

(Enem 2020). Um processo de aeração, que consiste na introdução de ar num líquido, acontece do seguinte modo: uma bomba B retira o líquido de um tanque T1 e o faz passar pelo aerador A1, que aumenta o volume do líquido em 15%, e em seguida pelo aerador A2, ganhando novo aumento de volume de 10%. Ao final, ele fica armazenado num tanque T2, de acordo com a figura.

Os tanques T1 e T2 são prismas retos de bases retangulares, sendo que a base de T1 tem comprimento c e largura L, e a base de T2 tem comprimento c/2 e largura 2L.

Para finalizar o processo de aeração sem derramamento do líquido em T2, o responsável deve saber a relação entre a altura da coluna de líquido que já saiu de T1, denotada por X, e a altura da coluna de líquido que chegou a T2, denotada por y.

A equação que relaciona as medidas das alturas y e x é dada por

a) y = 1,265x
b) y = 1,250x
c) y = 1,150x
d) y = 1,125x
e) y = x

Ver Resposta
Resposta correta: a) y = 1,265x
Temas cobrados nesta questão: porcentagem e geometria espacial.
Ideia 1: alteração percentual de volume do tanque T1 para o T2.
O volume V2, do tanque T2 é maior, pois sofreu processo de aeração.
Em A1 o volume aumenta 15%. Basta multiplicar por 1,15.
Em A2 o volume aumenta mais 10%. Basta multiplicar por 1,10.
Ideia 2: relação entre os volumes
Caso não sofresse aeração, o volume de líquido V1, que sai de T1, seria igual ao volume V2 em T2.
Como o volume final, V2, é maior devido aos aumentos, temos:
V2 = (1,15 )(1,10) . V1
V2 = 1,265 . V1 relação I
Ideia 3: função dos volumes
Como os tanques são prismas, o volume é o resultado da multiplicação de suas três dimensões.
Substituindo o produto na relação I, temos:
V2 = 1,265 . V1 relação I
$y espaço. espaço C sobre 2 espaço. espaço 2 L espaço igual a espaço 1 vírgula 265 espaço. espaço x espaço. espaço C. espaço L espaço espaço y espaço. espaço C espaço. espaço L espaço igual a espaço 1 vírgula 265 espaço. espaço x espaço. espaço C espaço. espaço L espaço espaço y espaço igual a espaço 1 vírgula 265 espaço. espaço x espaço. espaço numerador C espaço. espaço L sobre denominador C espaço. espaço L fim da fração espaço espaço y espaço igual a espaço 1 vírgula 265 espaço x$
Portanto, a equação que relaciona as medidas das alturas y e x é dada por y = 1,265 x

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