QUESTÕES RESOLVIDAS PRA CONCURSOS E ENEM . MATEMÁTICA
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Questão 7
(Enem 2020). A fabricação da Bandeira Nacional deve obedecer ao descrito na Lei n. 5.700, de 1º de setembro de 1971, que trata dos Símbolos Nacionais. No artigo que se refere às dimensões da Bandeira, observa-se: “Para cálculos das dimensões, será tomada por base a largura, dividindo-a em 14 (quatorze) partes iguais, sendo que cada uma das partes será considerada uma medida ou módulo (M). Os demais requisitos dimensionais seguem o critério abaixo:
I. Comprimento será de vinte módulos (20 M);
II. A distância dos vértices do losango amarelo ao quadro externo será de um módulo e sete décimos (1,7 M);
III. O raio do círculo azul no meio do losango amarelo será de três módulos e meio (3,5 M).”
BRASIL. Lei n. 5.700, de 1º de setembro de 1971.Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 set. 2015.
A figura indica as cores da bandeira do Brasil e localiza o quadro externo a que se refere a Lei n. 5.700.
Um torcedor, preparando-se para a Copa do Mundo e dispondo de cortes de tecidos verde (180 cm x 150 cm) e amarelo (o quanto baste), deseja confeccionar a maior Bandeira Nacional possível a partir das medidas do tecido verde.
Qual a medida, em centímetro, do lado do menor quadrado de tecido azul que deverá ser comprado para confecção do círculo da bandeira desejada?
a) 27 b) 32 c) 53 d) 63 e) 90
Resposta correta: d) 63
Ideia 1: lado do quadrado
O lado do menor quadrado de tecido azul é igual a dois raios do círculo.
De acordo com a norma citada no enunciado em III, o raio R do círculo tem 3,5M.
Como o lado do quadrado é igual a 2R, temos:
Lado do quadrado = 2R = 2 . 3,5M = 7M
Ideia 2: cálculo de M em duas tentativas
O tecido verde é um retângulo e possui as dimensões: 180 cm X 150 cm. De acordo com a norma, em I, o comprimento deve possuir 20M e a largura 14M.
1ª tentativa
Vamos utilizar o menor lado do tecido (150 cm) para o menor lado da bandeira (largura).
Largura da bandeira = 14M
Se a largura for de 150 cm, M será:
14M = 150 cm M = 150/14
Devemos conferir se a medida maior do tecido (180 cm) será suficiente para o comprimento de 20M da bandeira.
Largura = 20M = 20. 150/14 Ou, aproximadamente, 214 cm, que é uma medida maior que a do tecido disponível.
2ª tentativa
Comprimento da bandeira de 20M com 180 cm.
20M = 180 M = 180/20 = 9 cm
Largura da bandeira = 14M Largura da bandeira = 14 x 9 = 126 cm
Nesse caso, haverá tecido suficiente.
Ideia 3: medida do lado do quadrado
Como visto na ideia 1, o lado do quadrado possui 7M. Dessa forma:
Lado do quadrado = 7M = 7.9 = 63
Portanto, o lado do menor quadrado de tecido azul que deverá ser comprado para confecção do círculo da bandeira deve medir 63 cm.
Questão 8
(Enem 2020). Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por
a) 9! b) 4! 5! c) 2 × 4! 5! d) 9! / 2 e) 4! 5! / 2
Resposta correta: e) 4! 5! / 2
Assunto cobrado na questão: permutação com repetição.
Na frase I AM POTTER, a letra T se repete duas vezes, sendo um caso de permutação com repetição.
Atenção: por ser uma permutação com repetição, devemos dividir o cálculo por 2! Pois a letra T se repete duas vezes.
Condição: vogais (V) e consoantes (C) devem estar intercaladas.
Na frase há 4 vogais e 5 consoantes.
Vamos considerar o caso em que começamos a dispor as letras, sendo a primeira vogal.
Esse caso não satisfaz a condição de vogais e consoantes intercaladas.
Agora, começando por consoante.
Esse caso satisfaz a condição.
Para as consoantes temos o seguinte produto de possibilidades:
5 possibilidades para escolher a primeira consoante, multiplicado por 4 possibilidades para escolher a segunda consoante, multiplicado por 3 possibilidades para escolher a terceira consoante, multiplicado por 2 possibilidades para escolher a quarta consoante, multiplicado por 1 possibilidade para escolher a quinta consoante.
Dessa forma, temos 5! que é o fatorial de 5.
Para as vogais temos o seguinte produto de possibilidades:
4 possibilidades para escolher a primeira vogal, multiplicado por 3 possibilidades para escolher a segunda vogal, multiplicado por 2 possibilidades para escolher a terceira vogal, multiplicado por 1 possibilidade para escolher a quarta vogal.
Dessa forma, temos 4! que é o fatorial de 4.
A quantidade total de anagramas é dada por:
Possibilidades das consoantes (5!), multiplicado pelas possibilidades das vogais (4!), dividido por 2! pois T se repete duas vezes.
Portanto, o número de anagramas formados é dado por:
Questão 9
(Enem 2020). O consumo de espumantes no Brasil tem aumentado nos últimos anos. Uma das etapas do seu processo de produção consiste no envasamento da bebida em garrafas semelhantes às da imagem. Nesse processo, a vazão do líquido no interior da garrafa é constante e cessa quando atinge o nível de envasamento.
Qual esboço de gráfico melhor representa a variação da altura do líquido em função do tempo, na garrafa indicada na imagem?
Resposta correta: b)
Informação: a vazão é constante.
A vazão é a quantidade de líquido que entra na garrafa por unidade de tempo.
Por exemplo, a quantidade de líquido que entra na garrafa em 1 segundo, é a mesma, que entra no próximo segundo, e assim por diante.
Se o recipiente for grande como uma caixa d’água, o nível de líquido vai subir mais devagar. Dizemos que demora mais para encher uma caixa d’água do que uma garrafa pois o volume da garrafa é menor.
Com a garrafa é o mesmo princípio. Dividindo a garrafa em duas seções temos:
1ª seção
Na primeira seção o volume é maior, sendo um cilindro, sua circunferência é a mesma em toda altura. Como a vazão é constante, o gráfico da altura do nível em função do tempo é uma reta com inclinação que depende da vazão.
Se a vazão for maior, a garrafa se enche em menos tempos e, a inclinação da reta é maior.
2ª seção
Na segunda seção o volume (espaço dentro da garrafa) começa a diminuir. Conforme a altura do líquido aumenta a circunferência diminui e com isso o volume também diminui.
Sendo a vazão constante mas, o volume a ser preenchido cada vez menor, a medida que a altura aumenta, mais rápido é o preenchimento, ou seja, em menor tempo.
Questão 10
(Enem 2020). A exposição a barulhos excessivos, como os que percebemos em geral em trânsitos intensos, casas noturnas e espetáculos musicais, podem provocar insônia, estresse, infarto, perda de audição, entre outras enfermidades. De acordo com a Organização Mundial da Saúde, todo e qualquer som que ultrapasse os 55 decibéis (unidade de intensidade do som) já pode ser considerado nocivo para a saúde. O gráfico foi elaborado a partir da medição do ruído produzido, durante um dia, em um canteiro de obras.
Nesse dia, durante quantas horas o ruído esteve acima de 55 decibéis?
a) 5 b) 8 c) 10 d) 11 e) 13
Resposta correta: e) 13
O ruído esteve acima de 55 dB nos períodos em que a curva do gráfico se mantém acima da linha horizontal de 55 dB.
Fazendo a contagem no gráfico, temos:
Horas em que o ruído esteve acima de 55 decibéis
3h + 3h + 3h + 1h + 3h = 13h
Portanto, neste dia, o ruído esteve por 13h acima do nível de 55 dB.
Questão 11
(Enem 2020). Os gráficos representam a produção de peças em uma indústria e as horas trabalhadas dos funcionários no período de cinco dias. Em cada dia, o gerente de produção aplica uma metodologia diferente de trabalho. Seu objetivo é avaliar a metodologia mais eficiente para utilizá-la como modelo nos próximos períodos. Sabe-se que, neste caso, quanto maior for a razão entre o número de peças produzidas e o número de horas trabalhadas, maior será a eficiência da metodologia.
Em qual dia foi aplicada a metodologia mais eficiente?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resposta correta: c) 3
A razão será:
Analisando as razões para cada dia, temos:
Dia 1 800 / 4 = 200
Dia 2 1000 / 8 = 125
Dia 3 1 100 / 5 = 220
Dia 4 1800 / 9 = 200
Dia 5 1400 / 10 = 140
Desta forma, a metodologia mais produtiva foi a aplicada no dia 3.
Questão 17
(Enem/2019) Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas. Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.
Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta?
a) 0,0500 b) 0,1000 c) 0,1125 d) 0,3125 e) 0,5000
Alternativa correta: e) 0,5000.
1º passo: determinar a porcentagem de declarações inconsistentes que apresentam fraudes.
A quantidade de declarações recebidas nesse ano pela receita federal não foi dada, mas segundo o enunciado 20% do total são inconsistentes. Da parcela de inconsistentes, 25% foram consideradas fraudulentas. Precisamos então calcular porcentagem de porcentagem, ou seja 25% de 20%.
2º passo: determinar a porcentagem de declarações consistentes que apresentam fraudes.
O restante das declarações, que representa 80%, foram consideradas consistentes. Entretanto, constatou-se que dessa parcela 6,25% eram fraudulentas, ou seja:
3º passo: calcular a probabilidade de uma declaração ser inconsistente e apresentar fraude.
A probabilidade é dada por:
Onde, a probabilidade de ocorrer um evento, P(A), é dada pela razão entre número de casos que nos interessam, n(A), e o número total de casos possíveis, n().
Sendo assim, a probabilidade de uma declaração ser inconsistente e fraudulenta é de 50% ou 0,5000.
Questão 12
(Enem/2019) Um ciclista quer montar um sistema de marchas usando dois discos dentados na parte traseira de sua bicicleta, chamados catracas. A coroa é o disco dentado que é movimentado pelos pedais da bicicleta, sendo que a corrente transmite esse movimento às catracas, que ficam posicionadas na roda traseira da bicicleta. As diferentes marchas ficam definidas pelos diferentes diâmetros das catracas, que são medidos conforme indicação da figura.
O ciclista já dispõe de uma catraca com 7 cm de diâmetro e pretende incluir uma segunda catraca, de modo que, à medida em que a corrente passe por ela, a bicicleta avance 50% a mais do que avançaria se a corrente passasse pela primeira catraca, a cada volta completa dos pedais.
O valor mais próximo da medida do diâmetro da segunda catraca, em centímetro e com uma casa decimal, é
a) 2,3 b) 3,5 c) 4,7 d) 5,3 e) 10,5
Alternativa correta: c) 4,7.
Observe como são posicionadas catraca e coroa na bicicleta.
Quando os pedais da bicicleta se movimentam, a coroa gira e o movimento é transmitido para catraca através da corrente.
Por ser menor, um giro da coroa faz com que a catraca realize mais voltas. Se, por exemplo, a catraca tiver um quarto do tamanho da coroa, significa que um giro da coroa fará com que a catraca gire quatro vezes mais.
Como a catraca está localizada na roda, quanto menor a catraca utilizada maior será a velocidade alcançada e, consequentemente, maior a distância percorrida. Por isso, diâmetro da catraca e distância percorrida são grandezas inversamente proporcionais.
Já foi escolhida uma de 7 cm e pretende-se avançar mais 50% com a bicicleta, ou seja, a distância percorrida (d) mais 0,5 d (que representa 50%). Logo, a nova distância que deve ser alcançada é de 1,5 d.
Distância percorrida
Diâmetro da catraca
d
7 cm
1,5 d
x
Já que a proporcionalidade entre as grandezas é inversa, devemos inverter a grandeza do diâmetro da catraca e efetuar o cálculo com a regra de três.
Como a roda e a catraca estão interligadas, o movimento realizado no pedal é transmitido para coroa e movimenta a catraca de 4,7 cm fazendo com que a bicicleta avance mais 50%.
Questão 13
(Enem/2019) Para construir uma piscina, cuja área total da superfície interna é igual a 40 m², uma construtora apresentou o seguinte orçamento:
R$ 10 000,00 pela elaboração do projeto;
R$ 40 000,00 pelos custos fixos;
R$ 2 500,00 por metro quadrado para construção da área interna da piscina.
Após a apresentação do orçamento, essa empresa decidiu reduzir o valor de elaboração do projeto em 50%, mas recalculou o valor do metro quadrado para a construção da área interna da piscina, concluindo haver a necessidade de aumentá-lo em 25%.
Além disso, a construtora pretende dar um desconto nos custos fixos, de maneira que o novo valor do orçamento seja reduzido em 10% em relação ao total inicial.
O percentual de desconto que a construtora deverá conceder nos custos fixos é de
a) 23,3% b) 25,0% c) 50,0% d) 87,5% e) 100,0%
Alternativa correta: d) 87,5%.
1º passo: calcular o valor inicial do investimento.
Orçamento
Valor
Elaboração do projeto
10 000,00
Custos fixos
40 000,00
Construção da área interna de 40 m2 da piscina.
40 x 2 500,00
2º passo: Calcular o valor de elaboração do projeto após a redução de 50%
3º passo: Calcular o valor do metro quadrado da piscina após aumento de 25%.
4º passo: Calcular o desconto aplicado nos custos fixos para reduzir o valor do orçamento inicial em 10%.
Com a aplicação dos 87,5% de desconto, os custos fixos passarão de R$ 40 000 para R$ 5 000 para que o valor final pago seja de R$ 135 000.
Let all the earth worship you with reverence and proclaim the praise of your name, O Most High (Ps 65:4). The temptation to pride has accompanied humanity throughout history. Christ came among us in a humble and simple way. He taught us to fast free from pride, which makes us grow in love. Let us celebrate the commitment to live the newness of the Gospel in our daily lives. First Reading: Hebrews 5:1-10 Reading from the letter to the Hebrews – 1Every high priest chosen from among men is ordained to act on behalf of men in things pertaining to God, to offer both gifts and sacrifices for sins. 2He has compassion on those who are ignorant and in error, because he himself is beset by weakness. 3For this reason he must offer sacrifices both for the sins of the people and for his own. 4No one takes this honor upon himself except the one called by God, as was Aaron. 5So Christ did not take it upon himself to be made a high priest, but rather he who said to him, “You are my Son; today I ...
Questão 5 Uma das informações que pode auxiliar no dimensionamento do número de pediatras que devem atender em uma Unidade Básica de Saúde (UBS) é o número que representa a mediana da quantidade de crianças por família existente na região sob sua responsabilidade. O quadro mostra a distribuição das frequências do número de crianças por família na região de responsabilidade de uma UBS. O número que representa a mediana da quantidade de crianças por família nessa região é a) 1,0. b) 1,5. c) 1,9. d) 2,1. e) 2,5. Gabarito explicado Somando as frequências temos: 100 + 400 + 200 + 150 + 100 + 50 = 1000 Como o número de elementos é par, a mediana será a média aritmética entre os dois termos centrais, tempo organizado os dados de forma crescente. Os termos centrais serão as posição 500 e 501. Da tabela temos que o número de crianças por família na posição 500 é 1, enquanto para 501 é 2. A mediana é: Postar um comentário LEIA MAIS MATEMÁTICA . EN...
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